Χτυπάμε μέσα σε ένα μπολ με αβγοδάρτη το γιαούρτι με τα αβγά, τη ζάχαρη, τη βανίλια, το γάλα μέχρι να γίνουν ομοιογενές μείγμα. Προσθέτουμε το αλεύρι, συνεχίζοντας το ανακάτεμα μέχρι να ομογενοποιηθεί. Ζεσταίνουμε μπόλικο λάδι σε ένα τηγάνι βαθύ (η στάθμη να είναι τουλάχιστον 2 δάχτυλα) και όταν κάψει καλά, παίρνουμε με το κουταλάκι μείγμα και το ρίχνουμε προσεκτικά στο τηγάνι. Προσοχή, δεν πρέπει να βάλουμε πάρα πολλούς λουκουμάδες μαζί, για να μπορούμε να τους γυρίσουμε με ευκολία. Όταν ροδίσουν οι λουκουμάδες από τη μία πλευρά, τους γυρίζουμε με τρυπητή κουτάλα να ροδίσουν και από την άλλη. Τους βγάζουμε σε πιατέλα στρωμένη με χαρτί κουζίνας, να στραγγίσουν από τα περιττά λάδια, και τους σερβίρουμε με μέλι και κανέλα. Αν θέλουμε, συνοδεύουμε με 1 μπάλα παγωτό βανίλια.